首先感谢队友,他们太强了 @Koco @追忆

问题的产生

阻尼是自然界中广泛存在的一种机制,比如弹簧振子在空气中的阻尼振动,电磁振荡在带电阻电路中的阻尼振荡。这两种阻尼的阻力都与某种参数(运动速度,电流大小)存在一种线性关系,所以它们属于同一种机制。除此之外,还存在有另外的阻尼振动,比如在具有恒定摩擦系数的桌面上振动的弹簧振子,其受到的阻尼力就仅与自身重量和摩擦系数有关,而与速度无关。所以我们想研究这两种机制在运动过程中的区别,并用MATLAB将这两种过程模拟出来。


数学表述


第一种机制

首先分析阻尼力与速度有关的阻尼机制模型
F_f = -bv
\sum{\vec{F}} = -k\vec{x} - F_f = m\vec{a} = m\dfrac{d^{2}x}{dt^{2}}

\dfrac{d^{2}x}{dt^{2}} + \dfrac{k}{m}x + \dfrac{b}{m}\dfrac{dx}{dt} = 0

解微分方程,得到
x = Ae^{\dfrac{-bt}{2m}}cos(\omega' t + \phi)

其中\omega' = \sqrt{\frac{k}{m} - \frac{b^{2}}{4m^{2}}}


第二种机制

弹簧自然伸长时位于O点,建立一维坐标

将小球拉至x_0位置 初速度为0的振动微分方程为

m(d^{2}x/dt^2)=-kx+f, (x_0\rightarrow (-x_1))  (1)

m(d^{2}x/dt^2)=-kx-f, (-x_1)\rightarrow x_2(1')

解二阶非齐次方程 (1)
x_1=C_1cos(\sqrt{\dfrac{k}{m}}t)+C_2sin(\sqrt{\dfrac{k}{m}}t)
\omega ^{2}=\dfrac{k}{m}  , \phi=\dfrac{f}{m}

x_1=Acos(\omega t-\alpha)

\phi为常数
设特解为x_2 = C, C = \dfrac{f}{k} = \gamma

通解为 x=x_1+x_2=Acos(\omega t-\alpha )+\gamma   (2)

同理得 (1')的通解

x=x_1+x_2=Acos(\omega t-\alpha)-\gamma (2')

A与\alpha 为常数 由初始状态决定

一个周期由(2)和(2')交替进行

第一阶段(第1个 半周期) 从x_0(最右端) 到达 -x_1(最左端)

初始条件  t=0 \omega t=0  x=x_0 v=0  \alpha_1=0

A_1=x_0-\gamma

所以振动方程为

x=(x_0-\gamma  )cos(\omega t)+\gamma

终态为 \omega t=\pi, x=-(x_0-2\gamma), v=0 也是第二阶段的初始条件

第二阶段:

代入上述初始条件 得

A_2 =-(x_0-3\gamma), \alpha_2=\pi x=(x_0-3\gamma )cos(\omega t)-\gamma

末状态为\omega t=2\pi, x=x_0-4\gamma , v=0

以此类推

第三状态  x=(x_0-5\gamma )cos(\omega t)+\gamma

末状态  \omega t=3\pi   x=-(x_0-6\gamma ) , v=0

第四阶段  x=(x_0-7\gamma) cos(\omega t)-\gamma

末状态 wt=4\pi   x=x_0-8\gamma    v=0

i个阶段的振幅为A_i=x_0-(2i-1)\gamma
i阶段的振动方程为
x=A_icos(\omega t)+(-1)^{i+1}  \gamma

从中可以看到 振幅A_i 虽然变化 但是\omega 是个定值 所以振动周期T=2\pi /\omega
也是个定值


MATLAB仿真


第一种机制

A=1, b=0.1, m=1, \omega = 1, \phi = 0

p1


第二种机制

A=1, f=0.1, m=1,k = 1

下面是MATLAB模拟得到的曲线

p2


两种机制的对比

将两幅图放在一起对比

p3


结论

通过上面的比较可以看出,在初识位移和加速度相同的情况下,第二种情况的衰减更为明显。