首先感谢队友,他们太强了 @Koco @追忆
问题的产生
阻尼是自然界中广泛存在的一种机制,比如弹簧振子在空气中的阻尼振动,电磁振荡在带电阻电路中的阻尼振荡。这两种阻尼的阻力都与某种参数(运动速度,电流大小)存在一种线性关系,所以它们属于同一种机制。除此之外,还存在有另外的阻尼振动,比如在具有恒定摩擦系数的桌面上振动的弹簧振子,其受到的阻尼力就仅与自身重量和摩擦系数有关,而与速度无关。所以我们想研究这两种机制在运动过程中的区别,并用MATLAB将这两种过程模拟出来。
数学表述
第一种机制
首先分析阻尼力与速度有关的阻尼机制模型
设
解微分方程,得到
其中
第二种机制
弹簧自然伸长时位于O点,建立一维坐标
将小球拉至位置 初速度为0的振动微分方程为
(1)
或
(1')
解二阶非齐次方程 (1)
令
为常数
设特解为
通解为 (2)
同理得 (1')的通解
(2')
A与为常数 由初始状态决定
一个周期由(2)和(2')交替进行
第一阶段(第1个 半周期) 从(最右端) 到达
(最左端)
初始条件
所以振动方程为
终态为 也是第二阶段的初始条件
第二阶段:
代入上述初始条件 得
末状态为
以此类推
第三状态
末状态
第四阶段
末状态
第个阶段的振幅为
第阶段的振动方程为
从中可以看到 振幅 虽然变化 但是
是个定值 所以振动周期
也是个定值
MATLAB仿真
第一种机制
取
第二种机制
取
下面是MATLAB模拟得到的曲线
两种机制的对比
将两幅图放在一起对比
结论
通过上面的比较可以看出,在初识位移和加速度相同的情况下,第二种情况的衰减更为明显。